COVID19 Modélisation d’une épidémie et mesures

La modélisation d’une épidémie est importante pour prendre de bonnes décisions. Ne pas comprendre la dynamique de l’épidémie est susceptible d’ajouter du malheur au malheur.

Le modèle SIR

Le modèle SIR est un exemple de modèle à compartiments, c’est à dire que l’on divise la population en plusieurs groupes.
Pour une population donnée, on étudie la taille de trois sous-populations au cours du temps t : 

S(t) représente les personnes saines (susceptible en anglais) au temps t,

 I(t) les personnes infectées (infected),

et R(t) les personnes retirées (removed)  ;

N=S(t)+I(t)+R(t) représente alors la population constante totale au cours du temps. Il convient de bien différencier les personnes saines des personnes retirées : les personnes saines n’ont pas encore été touchées par le virus, alors que les personnes retirées sont guéries, et donc immunisées. Autrement dit, les personnes retirées ne sont plus prises en compte. 

β représente le taux de transmission, c’est à dire le taux de personnes saines qui deviennent infectées et γ le taux de guérison, c’est à dire le taux de personnes infectées qui deviennent retirées

Système d’équations

\[ \begin{cases} \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t)&(1.1)\\ \frac{dI(t)}{dt} &=& \beta S(t)I(t)-\gamma I(t)&(1.2)\\ \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t)&(1.3) \end{cases} \]

Le terme S(t)I(t) représente le nombre de contacts entre des personnes saines et des personnes infectées. β étant le taux de transmission, il y a dès lors βS(t)I(t) personnes nouvellement infectées. Celles-ci se soustraient des personnes saines (1.1), et s’ajoutent aux personnes infectées (1.2). De même, parmi les personnes infectées, certaines vont guérir : γ étant le taux de guérison, il a γI(t) personnes nouvellement guéries qui s’enlèvent des personnes infectées (1.2) et s’ajoutent aux personnes retirées (1.3).

Taux de reproduction

Le taux de reproduction R0 est le nombre moyen de cas secondaires produits par un individu infectieux au cours de sa période d’infection.

Au début de l’épidémie, l’expression de R0 est β/γ puisque 1/γ représente la durée moyenne de la maladie et qu’au début, les personnes rencontrées sont presque toutes saines.

Si R0>1, alors I(t) croît, atteint son maximum puis décroît vers 0 quand t tend vers +∞ : c’est une épidémie.

Sinon, I(t) décroît directement vers 0 quand t tend vers +∞ : il n’y a pas d’épidémie. C’est sur ce théorème que se basent les scientifiques et les politiques lorsqu’ils disent, pour l’épidémie de Covid-19, qu’il faut à tout prix réduire R0 pour le rendre le plus proche possible de 1

Efficacité des mesures prises et effets sur la courbe

Modification du taux de transmission

On peut essayer de modifier le taux de transmission par des mesures comme le couvre feu ou le confinement partiel ou total.

On observe très clairement que le pic de courbe de I (en orange) est moins haut (0,8 contre 0,6) et que la courbe est plus étalée. De plus, la courbe de S (en bleu) décroit beaucoup plus rapidement à gauche qu’à droite.

Quand le taux de transmission baisse on obtient un Max plus faible mais la courbe s’allonge dans le temps.

Le couvre feu est-il efficace? En Espagne certaines provinces ont mises en place un couvre feu, d’autres non. Un graphique des incidences entre 2 provinces, montre que la province qui a établi un couvre feu a un Max plus élevé que celle qui ne l’a pas fait. Le taux de transmission a été plus faible dans la province qui n’a pas fait de couvre feu.

Le couvre feu n’a pas eu d’efficacité!

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