Loading...
Divers

OPTIMISATION DES RESSORTS HELICOIDAUX A SECTION OVOIDE.

Résumé: Cette note présente une analyse théorique permettant de calculer des ressorts hélicoïdaux ayant une section ovoïde. Pour l’instant des analyses théoriques ont été menées sur des formes simples : cercle, ellipse, demi-cercle plus demie ellipse; mais le problème de l’optimisation n’a pas été posé. Quel est, en effet, le meilleur profil répondant aux contraintes techniques de l’utilisateur ?

Mots clés: Ressorts hélicoïdaux. Torsion. Ressorts à section ovoïdes.

1. Introduction

Les ressorts hélicoïdaux ont généralement une section circulaire. De nombreuses études théoriques ont montré comment calculer les contraintes de ces ressorts utilisés dans de nombreux mécanismes [2-4-5]. Depuis peu des ressorts de section ovoïde sont utilisés dans l’industrie (ressorts de soupapes, embrayages). Les difficultés de la mise en oeuvre de tels ressorts se heurtent aux problèmes liés à la fabrication et aux calculs. Le souci d’accroitre les performances a poussé les industriels à des profils plus avantageux que le cercle ou le rectangle. Le premier article sur le calcul des ressorts de forme est celui de FUCHS [3], qui reprenant les travaux de WAHL [1-2], a proposé comme section, l’assemblage d’un demi-cercle et d’une demie ellipse. Les contraintes sur le contour de ce profil ont pour lui la même valeur. Depuis, des calculs analytiques menés par NAGAYA [4] ainsi que des calculs numériques en éléments finis ont démontré que les contraintes ne sont pas constantes sur le pourtour du profil mais ont un maximum vers 40 ° [Fig. 7]. Pourtant, on retrouve la section FUCHS dans l’industrie, et utilisée, suivant les constructeurs, côté elliptique vers l’intérieur ou vers l’extérieur. Au Japon on trouve des sections FUCHS légèrement modifiées, une amélioration de ce profil propose d’ajouter un rayon tangent entre le demi cercle et la demie ellipse; une autre propose une section où le côté elliptique est formé par des rayons évolutifs. Chaque fabricant de ressorts a essayé d’améliorer le profil FUCHS, mais quel est le profil optimal, c’est à ce problème que nous allons essayer de répondre.

2. Problème de l’optimisation

Les ressorts de compression de section circulaire ont un maximum de contraintes de cisaillement qui est situé au rayon intérieur d’enroulement du ressort. La contrainte diminue rapidement si l’on suit le contour du profil [Fig. 7; il est donc évident que le cercle n’est pas le profil idéal, on n’utilise pas la matière à son optimum. La section circulaire donne une distribution de contrainte périphérique d’autant moins uniforme que le rapport d’enroulement est faible. D’autres sections ont été essayées, la section rectangulaire qui a une distribution de contrainte trés désavantageuse et la section elliptique, plus intéressante, mais qui n’a pas été adoptée. FUCHS en 1959 a proposé une forme ovale, modification de la forme elliptique, en assemblant un demi cercle et une demie ellipse; mais ses calculs de contraintes se sont avérés faux. Sur la base de ce profil des variantes sont utilisées notamment au Japon pour les ressorts de soupapes. Aucune de ces formes ne présente une distribution uniforme de la contrainte le long du périmètre de la section. En revanche, le rapport de la contrainte périphérique moyenne à la valeur maximale montre que les sections dites de FUCHS utilise mieux le matériau. L’avantage principal du fil de forme ovale est que l’on a une hauteur inférieure au diamètre du fil circulaire. On pourra donc, par exemple, avoir plus de spires utiles et ainsi un ressort plus souple, tout en ayant une contrainte égale à celle du fil circulaire.

Pour déterminer le profil optimal, il serait donc intéressant d’avoir une section paramétrée et les équations permettant d’obtenir le calcul des contraintes, c’est l’objet de cette note.

3. Analyse des contraintes d’un ressort soumis à une charge axiale

Un ressort (Fig. 1) soumis à une charge axiale P est soumis à : un moment de torsion PRcose, un effort tranchant Pcos e, un moment de flexion PRsin e, un effort normal Psin e.

e angle de l’hélice s’il est petit cos e » 1.

R distance entre l’axe du ressort et le centre de gravité.

Les contraintes normales dues à la flexion et à l’effort normal sont souvent faibles par rapport aux contraintes de cisaillement, elles ont l’avantage d’être simples à calculer.

En revanche, le calcul d’un ressort de section quelconque se heurte au problème de résolution de la torsion. En effet un ressort peut être assimilé à une barre de torsion, on résout tout d’abord le problème de la torsion pour une poutre droite puis on applique des coefficients correcteurs aux contraintes obtenues pour tenir compte de la courbure du ressort.


4. Résolution de la torsion pour des sections ovoïdes

Considérons un cylindre (Fig. 2), de section ovoïde, de longueur L, avec une base bloquée dans le plan xy, tandis que la section opposée est soumise à un couple selon l’axe z. Sous ce couple, la poutre est tordue. Chaque section tourne d’un angle q, la rotation totale est donc :

q = aza est le déplacement angulaire par unité de longueur.

Si l’on suppose que les sections droites ne restent pas planes mais gauchissent et que chaque section gauchit de la même façon, on peut choisir les déplacements (u,v,w) suivants pour le point P (Fig. 3) :

u =azy v=azx w=af(x,y)

f(x,y) fonction de gauchissement

On doit donc résoudre l’équation de la torsion :

Comme f est harmonique sur A, représentant la section de la poutre, on peut construire une fonction j+if , de la variable complexe x+iy, où j(x,y) est la fonction conjuguée harmonique , reliée à f(x,y) par les relations de Cauchy-Riemann :

j/y = f/x

j/x =f/y

Soit : Dj = 0 sur A (Eq. 1)

et j = 1/2 (x2+y2) sur A

Nous avons donc à résoudre l’équation 1 avec une condition aux limites sur la frontière A de A.

On ne sait résoudre ce problème de manière analytique que pour des profils simples. Or, pour calculer un ressort, seuls les profils ovoïdes nous intéressent. Nous allons donc, chercher une fonction harmonique pouvant répondre au problème de l’équation 1 et vérifiant les conditions aux limites.

Considérons la fonction harmonique : j(x,y) = c1 (x33xy2) + c2 (x2y2) + k

avec c1, c2, k réels.

On a:

Soit Dj = 0 sur A et j = 1/2 (x2+y2) sur A

D’où le profil donné par l’équation :

(Eq. 2)

Ce profil dépend de 3 paramètres c1, c2, k ; et suivant leurs valeurs on obtient un cercle, une ellipse un ovale.


4.1 Contraintes de cisaillement dues à la torsion

Dans la section A (Fig. 3) nous avons les contraintes de cisaillement suivantes:

Avec G module de cisaillement.

4.2 Rigidité de torsion

En écrivant l’équilibre statique par rapport à l’axe z passant par le point O centre de la section A :

On appelle rigidité de torsion D tel que :

Mz’ = GDa

5. Effet de la courbure

Les calculs précédents sont valables pour une poutre droite, or celle-ci est courbe ce qui modifie les contraintes. En effet, les fibres les plus proches de l’axe du ressort ont une courbure plus importante que les fibres extérieures. Toutes ces fibres sont tordues cependant du même angle quand le ressort est chargé. En conséquence, les fibres les plus proches de l’axe sont soumises à des contraintes de cisaillement plus élevées.

5.1 Centre de torsion

La section tourne autour d’un axe z’ passant par un point T appelé centre de torsion. (Fig. 4)

T centre de torsion

O centre du profil

G centre de gravité

xt = OT xg = OG

x = OP

ro = rayon au point O

rg = rayon au point G

En écrivant l’équilibre au point T

Les contraintes de cisaillement dues à la torsion devront être multipliées par un coefficient correcteur pour tenir compte de la courbure de la poutre.


6. Contraintes de cisaillement dues à l’effort tranchant

Une poutre de section uniforme soumise à des efforts (Qx,Qy,0) , entraine des contraintes de cisaillement dues à ces efforts tranchants. Si l’on considére que ces efforts passent par un point C (xc,yc), appellé centre de cisaillement, on dit alors que l’on a une flexion sans torsion.

Les équations fondamentales pour une poutre droite soumises à deux efforts dans les axes x y sont :

Dj = 0 , Dj1 = 0 , Dj2 = 0 j , j1 , j2 sont des fonctions harmoniques comme précédemment.

Ix inertie de la section A par rapport à l’axe x, Iy par rapport à y ,n coefficient de Poisson , E module d’Young, G module de cisaillement et avec :

La fonction j est une fonction de torsion pure, j1 , j2 doivent vérifier les conditions aux limites sur A suivantes :

q vecteur normal au contour A.

7. Contraintes normales dues au moment de flexion et à l’effort normal

La section subit un moment de flexion PRsine et un effort normal Psine. Les contraintes normales sont souvent négligeables pour des petits ressorts, on les calcule aisément :

sx = (RRsine)/Ix

sx = (Rsine)/A

8. Optimisation de forme de la section d’un ressort

Nous avons donc tous les outils pour calculer un ressort de section ovale. Le profil dépend de 3 paramètres, il a pour équation la relation (Eq. 2). Toutes ces équations ont été écrites dans un programme appelé GALEODã. L’optimisation se fait par balayage des trois paramètres dans les intervales du domaine défini par le diamètre de la section circulaire.

Ce logiciel permet à partir d’un calcul classique de ressort de section circulaire de trouver une section ovale optimisée pour atteindre la fonction objectif imposée par l’utilisateur et suivant ses contraintes. Il est possible d’obtenir directement un maillage éléments finis de la section ovale trouvée par le programme pour vérification éventuelle des résultats analytiques.

9. Exemples

Cas 1 : plus grande flexibilité.

Si l’on veut obtenir un ressort plus souple que celui que l’on a avec un fil circulaire ; il s’agit d’une optimisation de section ayant pour objectif de réduire la rigidité du ressort tout en ayant la même contrainte maximale imposée par la qualité de l’acier. (Exemple ovales 1 et 4).

Cas 2 : plus grande durée de vie.

Si l’on veut diminuer la contrainte maximale tout en gardant la même rigidité. (Exemple ovales 2 3).

Les profils ovoïdes 1 et 2 ont le côté ‘elliptique’ vers l’intérieur, les profils 3 et 4 sont inversés. Il est donc possible d’obtenir des sections qui ont un gain d’environ 20 % soit en rigidité soit en contrainte par rapport au profil circulaire. On peut remarquer que la section 3 a un profil de contraintes quasiment plat sur environ 40°, alors que nous observons un pic de contraintes pour les ovales 1 et 2 à environ 40°.


CERCLE OVALE-1 OVALE-2 OVALE-3

Section : 5.50 6.20*4.75 6.55*4.91 6.96*4.67

Diamètre extérieur (mm) : 30.50 30.50 30.50 30.50

Diamètre intérieur (mm) : 19.50 18.10 17.39 16.58

Nombre de spires utiles : 2.57 3.02 3.14 3.39

Nombre de spires totales : 4.57 5.02 5.14 5.39

Longueur libre (mm) : 31.50 31.50 31.50 31.50

Longueur sous charge (mm) : 24.70 23.40 24.70 24.70

Longueur mini utilisé (mm) : 24.70 23.40 24.70 24.70

Longueur à bloc (mm) : 23.76 22.65 24.02 23.97

Charge à LC (N) : 1550.00 1550.00 1550.00 1550.00

Raideur (N/mm) : 227.94 191.36 227.94 227.94

Rapport d’enroulement : 4.55 3.92 3.65 3.38

Angle d’hélice (°) : 5.94 6.67 6.64 6.95

Cisaillement max à LC (N/mm2) : 798.80 770.52 678.18 657.55

Flèche sous charge P (mm) : 6.80 8.10 6.80 6.80

Charge à LMU (N) : 1550.00 1550.00 1550.00 1550.00

Cisaillement max à LMU (N/mm2) : 798.80 770.52 678.18 657.55

Flèche sous P à LMU (mm) : 6.80 8.10 6.80 6.80

Masse (g) : 66.93 69.53 76.65 79.75

Gain en contrainte (%) : 3.67 17.79 21.48

Gain en Flèche (%) : 19.12 00.00 00.00

10. Conclusions

Cette note présente une méthode pour calculer de manière analytique des ressorts hélicoïdaux de section ovale. Elle montre qu’en utilisant ces équations il est possible de faire de l’optimisation de forme, c’est à dire qu’à partir d’un calcul classique de ressort de section circulaire on pourra obtenir une forme ovale optimisée suivant l’objectif fixé.

Une section ovale permet de mieux faire travailler la matière. Ces sections sont donc à recommander si l’on veut, par exemple changer la fréquence de résonance d’un ressort de soupape ou rendre plus flexible un ressort d’embrayage. Les gains dépendent bien sûr des configurations, mais on peut espérer des gains de 20 à 30%.

Il est difficile de conclure sur la forme exacte de la section optimale car c’est un problème d’optimisation que l’on doit résoudre pour chaque cas. Ceci est faisable du point de vue mathématique en quelques secondes sur un micro ordinateur. En revanche, du point de vue fabrication du ressort on se heurte à des problèmes de rotation de la section, de la précision de l’outillage de la découpe du fil et à des limites d’endurance modifiées par traitement de surface. Par exemple, le grenaillage est différent sur le pourtour de la section. Il faudrait donc intégrer ces paramètres de fabrication dans l’optimisation de forme, car des petites imperfections modifient rapidement la durée de vie d’un ressort.

Du point de vue analytique ce n’est pas la section de FUCHS ou variantes qui est la section optimale, en effet on obtient un pic de contraintes vers 40°. Cette section est pratique, car le profil est obtenu de manière géométrique; il suffit ensuite de calculer les contraintes et la rigidité du ressort. Mais il ne s’agit pas d’une optimisation de forme puisque le profil est donné a priori, le gain est donc partiel et il est principalement du au fait que la hauteur du fil est moins importante que par une optimisation de la répartition des contraintes.

La méthode proposée permet par une équation paramétrée de faire de l’optimisation de forme, et ainsi, l’utilisateur obtient une forme optimisée répondant à ses besoins. Cette équation englobe les formes dites de FUCHS, ainsi que des formes plus générales. Une optimisation de forme quelconque peut être menée par éléments finis, mais cette démarche dépasse le cadre de cette note. Le gain par rapport à l’approche proposée ici est faible et sa mise en oeuvre plus lourde qu’un simple logiciel dédié.

Un ressort petit élément mécanique utilisé partout dans l’industrie a encore bien des mystères à nous révéler.

Références

(1) WAHL, A. M., Trans ASME, J. Appl. Mech., (51) (1929), 185.

(2) WAHL, A. M.,Mechanical Spring, 2nd ed. (1963), Mc Graw Hill.

(3) FUCHS, H. O., Product Engineering, 27 (1969), 86.

(4) NAGAYA, K., JSME, VOL. 29, N° 252-3 June 1986.

(5) NAGAYA, K., JSME, VOL. 29, N° 252-4 June 1986.

(6) SOKOLNIKOFF, I. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed. (1956), Mc Graw Hill.

18 comments
  1. kawhi leonard shoes

    I simply had to say thanks all over again. I do not know the things I might have implemented without these tips contributed by you on that situation. It became a real frightening situation for me, but finding out a new specialised style you solved it made me to cry over fulfillment. I am happier for this help and thus pray you are aware of a great job that you are doing training the others through your site. Most likely you haven’t got to know any of us.

  2. bape clothing

    I wanted to send you a very little word so as to thank you very much yet again for the superb guidelines you’ve shown in this case. It is so particularly generous with people like you in giving openly all that some people might have distributed as an e-book to generate some bucks for their own end, most notably considering the fact that you could possibly have done it if you desired. These tips also acted to be a good way to comprehend other people have the identical fervor similar to mine to realize a lot more when it comes to this problem. I’m certain there are several more fun periods ahead for many who scan your blog.

  3. supreme hoodie

    I simply wished to thank you very much once more. I do not know the things I could possibly have undertaken without the concepts shared by you concerning such area of interest. Previously it was an absolute intimidating dilemma for me personally, but being able to view a new well-written avenue you solved the issue forced me to leap over fulfillment. I am happier for the advice and in addition hope you recognize what a great job you were carrying out instructing the others using a web site. Most likely you haven’t encountered all of us.

  4. bape

    My husband and i have been excited when Raymond managed to carry out his reports through your ideas he gained out of your site. It is now and again perplexing just to happen to be giving freely points which a number of people have been selling. So we fully grasp we now have you to give thanks to for that. Those illustrations you have made, the straightforward website navigation, the relationships you help instill – it is many overwhelming, and it’s assisting our son and us feel that that article is thrilling, which is wonderfully essential. Many thanks for all the pieces!

  5. supreme new york

    I have to get across my affection for your generosity in support of all those that actually need guidance on this particular content. Your real commitment to passing the solution along ended up being rather invaluable and has consistently helped guys like me to arrive at their endeavors. The important report denotes a whole lot to me and still more to my fellow workers. Many thanks; from all of us.

  6. golden goose sneakers

    I must show my respect for your generosity for folks who require assistance with this particular subject. Your personal commitment to passing the message all through ended up being quite useful and has continually encouraged workers much like me to get to their desired goals. Your warm and helpful suggestions indicates a lot to me and much more to my peers. With thanks; from each one of us.

  7. lebron 18

    I would like to convey my appreciation for your kindness for women who must have help on in this content. Your special commitment to getting the message all through has been especially advantageous and have all the time encouraged some individuals much like me to reach their ambitions. Your entire insightful hints and tips means this much a person like me and further more to my peers. Warm regards; from each one of us.

  8. supreme

    I simply needed to appreciate you once more. I do not know the things that I might have taken care of without the actual hints provided by you concerning that subject matter. It was before a daunting difficulty in my view, but viewing a new specialised mode you managed it forced me to cry for contentment. I am just happier for this guidance and thus trust you know what an amazing job your are carrying out instructing others through the use of your website. Probably you haven’t got to know any of us.

  9. kd 12

    Needed to create you a very small remark to help give many thanks as before for your great tricks you have provided in this case. It was certainly surprisingly generous of you to deliver freely all that many individuals would have offered for sale as an electronic book to help make some cash on their own, most importantly given that you might have done it in the event you wanted. These secrets also served as a good way to be certain that other people online have the same dream just as mine to grasp very much more with respect to this matter. I know there are millions of more pleasurable instances up front for folks who look over your blog.

  10. yeezy shoes

    I simply needed to say thanks once again. I am not sure what I would have accomplished in the absence of the secrets revealed by you regarding such topic. Entirely was an absolute frightening problem in my opinion, but noticing a new expert mode you managed the issue took me to weep for delight. Extremely happy for your work and then expect you realize what a great job that you’re doing training the others thru your webpage. More than likely you’ve never got to know any of us.

  11. a bathing ape

    I intended to create you a little word in order to say thanks as before with your exceptional basics you have provided at this time. It’s so particularly open-handed of you to offer extensively just what a few individuals could possibly have offered for sale as an e-book in order to make some profit on their own, primarily since you could possibly have done it if you wanted. The good tips additionally served to be the easy way to be aware that some people have the identical zeal just like my very own to learn good deal more in terms of this matter. I think there are several more enjoyable times in the future for many who go through your site.

  12. pg 4

    I must show my admiration for your kindness for folks that require help on the idea. Your personal commitment to passing the message up and down appears to be exceedingly beneficial and have surely made guys like me to realize their goals. Your own invaluable suggestions indicates much to me and much more to my office colleagues. Regards; from everyone of us.

  13. golden goose

    I simply wanted to make a quick remark so as to say thanks to you for those marvelous suggestions you are sharing at this site. My incredibly long internet look up has now been compensated with good quality insight to exchange with my good friends. I would tell you that most of us visitors actually are truly endowed to dwell in a good place with so many lovely professionals with very beneficial tips and hints. I feel really privileged to have discovered your weblog and look forward to some more fabulous moments reading here. Thanks a lot again for a lot of things.

  14. stephen curry shoes

    I precisely wanted to thank you so much yet again. I am not sure what I might have created without the opinions provided by you regarding such a area. This has been a real frustrating crisis in my position, but viewing your expert technique you treated the issue made me to weep with joy. I am just thankful for the help and thus hope you comprehend what a great job that you are carrying out instructing men and women through a site. Probably you’ve never come across all of us.

  15. kyrie irving shoes

    I simply wanted to write down a quick comment to say thanks to you for the awesome tactics you are posting on this site. My time intensive internet investigation has at the end of the day been recognized with reasonable knowledge to exchange with my visitors. I ‘d tell you that many of us visitors actually are definitely fortunate to be in a really good website with many marvellous people with useful solutions. I feel extremely grateful to have discovered your entire webpages and look forward to some more thrilling minutes reading here. Thanks a lot once more for a lot of things.

  16. off white shoes

    I would like to convey my affection for your generosity in support of individuals that actually need help with this one theme. Your real dedication to getting the solution all through has been extremely beneficial and have surely helped men and women much like me to realize their desired goals. The warm and friendly guidelines implies this much to me and much more to my peers. Regards; from all of us.

  17. biandibra

    They can tell you whether the quality of the medication was good, whether the customer service was responsive, and how easy or difficult it was to receive their order buy cialis cheap I understand that many reviewers see their jobs as a competition for a persons dollar, but for me it s bigger than that

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.