OPTIMISATION DES RESSORTS HELICOIDAUX A SECTION OVOIDE.




Résumé: Cette note présente une analyse théorique permettant de calculer des ressorts hélicoïdaux ayant une section ovoïde. Pour l’instant des analyses théoriques ont été menées sur des formes simples : cercle, ellipse, demi-cercle plus demie ellipse; mais le problème de l’optimisation n’a pas été posé. Quel est, en effet, le meilleur profil répondant aux contraintes techniques de l’utilisateur ?

Mots clés: Ressorts hélicoïdaux. Torsion. Ressorts à section ovoïdes.

1. Introduction

Les ressorts hélicoïdaux ont généralement une section circulaire. De nombreuses études théoriques ont montré comment calculer les contraintes de ces ressorts utilisés dans de nombreux mécanismes [2-4-5]. Depuis peu des ressorts de section ovoïde sont utilisés dans l’industrie (ressorts de soupapes, embrayages). Les difficultés de la mise en oeuvre de tels ressorts se heurtent aux problèmes liés à la fabrication et aux calculs. Le souci d’accroitre les performances a poussé les industriels à des profils plus avantageux que le cercle ou le rectangle. Le premier article sur le calcul des ressorts de forme est celui de FUCHS [3], qui reprenant les travaux de WAHL [1-2], a proposé comme section, l’assemblage d’un demi-cercle et d’une demie ellipse. Les contraintes sur le contour de ce profil ont pour lui la même valeur. Depuis, des calculs analytiques menés par NAGAYA [4] ainsi que des calculs numériques en éléments finis ont démontré que les contraintes ne sont pas constantes sur le pourtour du profil mais ont un maximum vers 40 ° [Fig. 7]. Pourtant, on retrouve la section FUCHS dans l’industrie, et utilisée, suivant les constructeurs, côté elliptique vers l’intérieur ou vers l’extérieur. Au Japon on trouve des sections FUCHS légèrement modifiées, une amélioration de ce profil propose d’ajouter un rayon tangent entre le demi cercle et la demie ellipse; une autre propose une section où le côté elliptique est formé par des rayons évolutifs. Chaque fabricant de ressorts a essayé d’améliorer le profil FUCHS, mais quel est le profil optimal, c’est à ce problème que nous allons essayer de répondre.

2. Problème de l’optimisation

Les ressorts de compression de section circulaire ont un maximum de contraintes de cisaillement qui est situé au rayon intérieur d’enroulement du ressort. La contrainte diminue rapidement si l’on suit le contour du profil [Fig. 7; il est donc évident que le cercle n’est pas le profil idéal, on n’utilise pas la matière à son optimum. La section circulaire donne une distribution de contrainte périphérique d’autant moins uniforme que le rapport d’enroulement est faible. D’autres sections ont été essayées, la section rectangulaire qui a une distribution de contrainte trés désavantageuse et la section elliptique, plus intéressante, mais qui n’a pas été adoptée. FUCHS en 1959 a proposé une forme ovale, modification de la forme elliptique, en assemblant un demi cercle et une demie ellipse; mais ses calculs de contraintes se sont avérés faux. Sur la base de ce profil des variantes sont utilisées notamment au Japon pour les ressorts de soupapes. Aucune de ces formes ne présente une distribution uniforme de la contrainte le long du périmètre de la section. En revanche, le rapport de la contrainte périphérique moyenne à la valeur maximale montre que les sections dites de FUCHS utilise mieux le matériau. L’avantage principal du fil de forme ovale est que l’on a une hauteur inférieure au diamètre du fil circulaire. On pourra donc, par exemple, avoir plus de spires utiles et ainsi un ressort plus souple, tout en ayant une contrainte égale à celle du fil circulaire.

Pour déterminer le profil optimal, il serait donc intéressant d’avoir une section paramétrée et les équations permettant d’obtenir le calcul des contraintes, c’est l’objet de cette note.

3. Analyse des contraintes d’un ressort soumis à une charge axiale

Un ressort (Fig. 1) soumis à une charge axiale P est soumis à : un moment de torsion PRcose, un effort tranchant Pcos e, un moment de flexion PRsin e, un effort normal Psin e.

e angle de l’hélice s’il est petit cos e » 1.

R distance entre l’axe du ressort et le centre de gravité.

Les contraintes normales dues à la flexion et à l’effort normal sont souvent faibles par rapport aux contraintes de cisaillement, elles ont l’avantage d’être simples à calculer.

En revanche, le calcul d’un ressort de section quelconque se heurte au problème de résolution de la torsion. En effet un ressort peut être assimilé à une barre de torsion, on résout tout d’abord le problème de la torsion pour une poutre droite puis on applique des coefficients correcteurs aux contraintes obtenues pour tenir compte de la courbure du ressort.


4. Résolution de la torsion pour des sections ovoïdes

Considérons un cylindre (Fig. 2), de section ovoïde, de longueur L, avec une base bloquée dans le plan xy, tandis que la section opposée est soumise à un couple selon l’axe z. Sous ce couple, la poutre est tordue. Chaque section tourne d’un angle q, la rotation totale est donc :

q = aza est le déplacement angulaire par unité de longueur.

Si l’on suppose que les sections droites ne restent pas planes mais gauchissent et que chaque section gauchit de la même façon, on peut choisir les déplacements (u,v,w) suivants pour le point P (Fig. 3) :

u =azy v=azx w=af(x,y)

f(x,y) fonction de gauchissement

On doit donc résoudre l’équation de la torsion :

Comme f est harmonique sur A, représentant la section de la poutre, on peut construire une fonction j+if , de la variable complexe x+iy, où j(x,y) est la fonction conjuguée harmonique , reliée à f(x,y) par les relations de Cauchy-Riemann :

j/y = f/x

j/x =f/y

Soit : Dj = 0 sur A (Eq. 1)

et j = 1/2 (x2+y2) sur A

Nous avons donc à résoudre l’équation 1 avec une condition aux limites sur la frontière A de A.

On ne sait résoudre ce problème de manière analytique que pour des profils simples. Or, pour calculer un ressort, seuls les profils ovoïdes nous intéressent. Nous allons donc, chercher une fonction harmonique pouvant répondre au problème de l’équation 1 et vérifiant les conditions aux limites.

Considérons la fonction harmonique : j(x,y) = c1 (x33xy2) + c2 (x2y2) + k

avec c1, c2, k réels.

On a:

Soit Dj = 0 sur A et j = 1/2 (x2+y2) sur A

D’où le profil donné par l’équation :

(Eq. 2)

Ce profil dépend de 3 paramètres c1, c2, k ; et suivant leurs valeurs on obtient un cercle, une ellipse un ovale.


4.1 Contraintes de cisaillement dues à la torsion

Dans la section A (Fig. 3) nous avons les contraintes de cisaillement suivantes:

Avec G module de cisaillement.

4.2 Rigidité de torsion

En écrivant l’équilibre statique par rapport à l’axe z passant par le point O centre de la section A :

On appelle rigidité de torsion D tel que :

Mz’ = GDa

5. Effet de la courbure

Les calculs précédents sont valables pour une poutre droite, or celle-ci est courbe ce qui modifie les contraintes. En effet, les fibres les plus proches de l’axe du ressort ont une courbure plus importante que les fibres extérieures. Toutes ces fibres sont tordues cependant du même angle quand le ressort est chargé. En conséquence, les fibres les plus proches de l’axe sont soumises à des contraintes de cisaillement plus élevées.

5.1 Centre de torsion

La section tourne autour d’un axe z’ passant par un point T appelé centre de torsion. (Fig. 4)

T centre de torsion

O centre du profil

G centre de gravité

xt = OT xg = OG

x = OP

ro = rayon au point O

rg = rayon au point G

En écrivant l’équilibre au point T

Les contraintes de cisaillement dues à la torsion devront être multipliées par un coefficient correcteur pour tenir compte de la courbure de la poutre.


6. Contraintes de cisaillement dues à l’effort tranchant

Une poutre de section uniforme soumise à des efforts (Qx,Qy,0) , entraine des contraintes de cisaillement dues à ces efforts tranchants. Si l’on considére que ces efforts passent par un point C (xc,yc), appellé centre de cisaillement, on dit alors que l’on a une flexion sans torsion.

Les équations fondamentales pour une poutre droite soumises à deux efforts dans les axes x y sont :

Dj = 0 , Dj1 = 0 , Dj2 = 0 j , j1 , j2 sont des fonctions harmoniques comme précédemment.

Ix inertie de la section A par rapport à l’axe x, Iy par rapport à y ,n coefficient de Poisson , E module d’Young, G module de cisaillement et avec :

La fonction j est une fonction de torsion pure, j1 , j2 doivent vérifier les conditions aux limites sur A suivantes :

q vecteur normal au contour A.

7. Contraintes normales dues au moment de flexion et à l’effort normal

La section subit un moment de flexion PRsine et un effort normal Psine. Les contraintes normales sont souvent négligeables pour des petits ressorts, on les calcule aisément :

sx = (RRsine)/Ix

sx = (Rsine)/A

8. Optimisation de forme de la section d’un ressort

Nous avons donc tous les outils pour calculer un ressort de section ovale. Le profil dépend de 3 paramètres, il a pour équation la relation (Eq. 2). Toutes ces équations ont été écrites dans un programme appelé GALEODã. L’optimisation se fait par balayage des trois paramètres dans les intervales du domaine défini par le diamètre de la section circulaire.

Ce logiciel permet à partir d’un calcul classique de ressort de section circulaire de trouver une section ovale optimisée pour atteindre la fonction objectif imposée par l’utilisateur et suivant ses contraintes. Il est possible d’obtenir directement un maillage éléments finis de la section ovale trouvée par le programme pour vérification éventuelle des résultats analytiques.

9. Exemples

Cas 1 : plus grande flexibilité.

Si l’on veut obtenir un ressort plus souple que celui que l’on a avec un fil circulaire ; il s’agit d’une optimisation de section ayant pour objectif de réduire la rigidité du ressort tout en ayant la même contrainte maximale imposée par la qualité de l’acier. (Exemple ovales 1 et 4).

Cas 2 : plus grande durée de vie.

Si l’on veut diminuer la contrainte maximale tout en gardant la même rigidité. (Exemple ovales 2 3).

Les profils ovoïdes 1 et 2 ont le côté ‘elliptique’ vers l’intérieur, les profils 3 et 4 sont inversés. Il est donc possible d’obtenir des sections qui ont un gain d’environ 20 % soit en rigidité soit en contrainte par rapport au profil circulaire. On peut remarquer que la section 3 a un profil de contraintes quasiment plat sur environ 40°, alors que nous observons un pic de contraintes pour les ovales 1 et 2 à environ 40°.


CERCLE OVALE-1 OVALE-2 OVALE-3

Section : 5.50 6.20*4.75 6.55*4.91 6.96*4.67

Diamètre extérieur (mm) : 30.50 30.50 30.50 30.50

Diamètre intérieur (mm) : 19.50 18.10 17.39 16.58

Nombre de spires utiles : 2.57 3.02 3.14 3.39

Nombre de spires totales : 4.57 5.02 5.14 5.39

Longueur libre (mm) : 31.50 31.50 31.50 31.50

Longueur sous charge (mm) : 24.70 23.40 24.70 24.70

Longueur mini utilisé (mm) : 24.70 23.40 24.70 24.70

Longueur à bloc (mm) : 23.76 22.65 24.02 23.97

Charge à LC (N) : 1550.00 1550.00 1550.00 1550.00

Raideur (N/mm) : 227.94 191.36 227.94 227.94

Rapport d’enroulement : 4.55 3.92 3.65 3.38

Angle d’hélice (°) : 5.94 6.67 6.64 6.95

Cisaillement max à LC (N/mm2) : 798.80 770.52 678.18 657.55

Flèche sous charge P (mm) : 6.80 8.10 6.80 6.80

Charge à LMU (N) : 1550.00 1550.00 1550.00 1550.00

Cisaillement max à LMU (N/mm2) : 798.80 770.52 678.18 657.55

Flèche sous P à LMU (mm) : 6.80 8.10 6.80 6.80

Masse (g) : 66.93 69.53 76.65 79.75

Gain en contrainte (%) : 3.67 17.79 21.48

Gain en Flèche (%) : 19.12 00.00 00.00

10. Conclusions

Cette note présente une méthode pour calculer de manière analytique des ressorts hélicoïdaux de section ovale. Elle montre qu’en utilisant ces équations il est possible de faire de l’optimisation de forme, c’est à dire qu’à partir d’un calcul classique de ressort de section circulaire on pourra obtenir une forme ovale optimisée suivant l’objectif fixé.

Une section ovale permet de mieux faire travailler la matière. Ces sections sont donc à recommander si l’on veut, par exemple changer la fréquence de résonance d’un ressort de soupape ou rendre plus flexible un ressort d’embrayage. Les gains dépendent bien sûr des configurations, mais on peut espérer des gains de 20 à 30%.

Il est difficile de conclure sur la forme exacte de la section optimale car c’est un problème d’optimisation que l’on doit résoudre pour chaque cas. Ceci est faisable du point de vue mathématique en quelques secondes sur un micro ordinateur. En revanche, du point de vue fabrication du ressort on se heurte à des problèmes de rotation de la section, de la précision de l’outillage de la découpe du fil et à des limites d’endurance modifiées par traitement de surface. Par exemple, le grenaillage est différent sur le pourtour de la section. Il faudrait donc intégrer ces paramètres de fabrication dans l’optimisation de forme, car des petites imperfections modifient rapidement la durée de vie d’un ressort.

Du point de vue analytique ce n’est pas la section de FUCHS ou variantes qui est la section optimale, en effet on obtient un pic de contraintes vers 40°. Cette section est pratique, car le profil est obtenu de manière géométrique; il suffit ensuite de calculer les contraintes et la rigidité du ressort. Mais il ne s’agit pas d’une optimisation de forme puisque le profil est donné a priori, le gain est donc partiel et il est principalement du au fait que la hauteur du fil est moins importante que par une optimisation de la répartition des contraintes.

La méthode proposée permet par une équation paramétrée de faire de l’optimisation de forme, et ainsi, l’utilisateur obtient une forme optimisée répondant à ses besoins. Cette équation englobe les formes dites de FUCHS, ainsi que des formes plus générales. Une optimisation de forme quelconque peut être menée par éléments finis, mais cette démarche dépasse le cadre de cette note. Le gain par rapport à l’approche proposée ici est faible et sa mise en oeuvre plus lourde qu’un simple logiciel dédié.

Un ressort petit élément mécanique utilisé partout dans l’industrie a encore bien des mystères à nous révéler.

Références

(1) WAHL, A. M., Trans ASME, J. Appl. Mech., (51) (1929), 185.

(2) WAHL, A. M.,Mechanical Spring, 2nd ed. (1963), Mc Graw Hill.

(3) FUCHS, H. O., Product Engineering, 27 (1969), 86.

(4) NAGAYA, K., JSME, VOL. 29, N° 252-3 June 1986.

(5) NAGAYA, K., JSME, VOL. 29, N° 252-4 June 1986.

(6) SOKOLNIKOFF, I. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed. (1956), Mc Graw Hill.





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Une Réponse pour “OPTIMISATION DES RESSORTS HELICOIDAUX A SECTION OVOIDE.”

  1. Une très bonne analyse qui va permettre d’améliorer la qualité des ressorts hélicoïdaux dans le futur!

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